-- I) Base case
open BASE-NSLPK
-- check
  red inv1(init,p,q,q?,r,n) .
close

-- II) Inductive cases

--> 1) sdm1(s,p10,q10,r10)
--> c-sdm1(s,p10,q10,r10), p = intruder
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
-- assumptions
  -- eq c-sdm1(s,p10,q10,r10) = true .
  eq r10 \in rands(s) = false .
  --
  eq p = intruder .
-- successor state
  eq s' = sdm1(s,p10,q10,r10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-sdm1(s,p10,q10,r10), ~(p = intruder), ~(m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p))
--> = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n(p10,q10,r10),p10)))
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
-- assumptions
  -- eq c-sdm1(s,p10,q10,r10) = true .
  eq r10 \in rands(s) = false .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  eq (m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p))
      = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n(p10,q10,r10),p10))) = false .
-- successor state
  eq s' = sdm1(s,p10,q10,r10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-sdm1(s,p10,q10,r10), ~(p = intruder), m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p))
--> = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n(p10,q10,r10),p10)),
--> ~(m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r10),n,q)) \in network(s))
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
-- assumptions
  -- eq c-sdm1(s,p10,q10,r10) = true .
  eq r10 \in rands(s) = false .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  -- eq m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p))
  --    = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n(p10,q10,r10),p10)) .
  eq r = r10 .
  eq q10 = q .
  eq p10 = p .
  --
  eq m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r10),n,q)) \in network(s) = false .
-- successor state
  eq s' = sdm1(s,p10,q10,r10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-sdm1(s,p10,q10,r10), ~(p = intruder), m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p))
--> = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n(p10,q10,r10),p10)),
--> m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r10),n,q)) \in network(s),
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
-- assumptions
  -- eq c-sdm1(s,p10,q10,r10) = true .
  eq r10 \in rands(s) = false .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  -- eq m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p))
  --    = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n(p10,q10,r10),p10)) .
  eq r = r10 .
  eq q10 = q .
  eq p10 = p .
  --
  eq m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r10),n,q)) \in network(s) = true .
-- successor state
  eq s' = sdm1(s,p10,q10,r10) .
-- check 
  red inv3(s,m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r10),n,q))) implies istep1 .
close
--> ~c-sdm1(s,p10,q10,r10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
-- assumptions
  eq c-sdm1(s,p10,q10,r10) = false .
-- successor state
  eq s' = sdm1(s,p10,q10,r10) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 2) sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10)
--> c-sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops q10? p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
  op n10 : -> Nonce .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10) = true .
  eq network(s) = m1(q10?,q10,p10,enc1(p10,n10,q10)) nw10 .
  eq r10 \in rands(s) = false .
  --
-- successor state
  eq s' = sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> ~c-sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops q10? p10 q10 : -> Principal .
  op r10 : -> Random .
  op n10 : -> Nonce .
-- assumptions
  eq c-sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10) = false .
-- successor state
  eq s' = sdm2(s,q10?,p10,q10,r10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 3) sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20)
--> c-sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops q10? p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20) = true .
  eq network(s) = m1(p10,p10,q10,enc1(q10,n10,p10))
                  m2(q10?,q10,p10,enc2(p10,n10,n20,q10)) nw10 .
  --
-- successor state
  eq s' = sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> ~c-sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops q10? p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
-- assumptions
  eq c-sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20) = false .
-- successor state
  eq s' = sdm3(s,q10?,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 4) fkm11(s,p10,q10,m10)
--> c-fkm11(s,p10,q10,m10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m10 : -> Message1 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm11(s,p10,q10,m10) = true .
  eq network(s) = m10 nw10 .
  --
-- successor state
  eq s' = fkm11(s,p10,q10,m10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> ~c-fkm11(s,p10,q10,m10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m10 : -> Message1 .
-- assumptions
  eq c-fkm11(s,p10,q10,m10) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm11(s,p10,q10,m10) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 5) fkm12(s,p10,q10,n10)
--> c-fkm12(s,p10,q10,n10), p = intruder
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op n10 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm12(s,p10,q10,n10) = true .
  eq nonces(s) = n10 ns10 .
  --
  eq p = intruder .
-- successor state
  eq s' = fkm12(s,p10,q10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm12(s,p10,q10,n10), ~(p = intruder)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op n10 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm12(s,p10,q10,n10) = true .
  eq nonces(s) = n10 ns10 .
  --
  eq (p = intruder) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm12(s,p10,q10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> ~c-fkm12(s,p10,q10,n10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op n10 : -> Nonce .
-- assumptions
  eq c-fkm12(s,p10,q10,n10) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm12(s,p10,q10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 6) fkm21(s,p10,q10,m20)
--> c-fkm21(s,p10,q10,m20), p = intruder
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = true .
  eq network(s) = m20 nw10 .
  --
  eq p = intruder .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm21(s,p10,q10,m20), ~(p = intruder),
--> ~(m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)))
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = true .
  eq network(s) = m20 nw10 .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  eq (m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)))
     = false .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm21(s,p10,q10,m20), ~(p = intruder),
--> m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)),
--> q = intruder
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = true .
  eq network(s) = m20 nw10 .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  -- eq m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) .
  eq q? = intruder .
  eq p10 = q .
  eq q10 = p .
  eq cipher2(m20) = enc2(p,n(p,q,r),n,q) .
  --
  eq q = intruder .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm21(s,p10,q10,m20), ~(p = intruder),
--> m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)),
--> ~(q = intruder), ~(m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p)) \in nw10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = true .
  eq network(s) = m20 nw10 .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  -- eq m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) .
  eq q? = intruder .
  eq p10 = q .
  eq q10 = p .
  eq cipher2(m20) = enc2(p,n(p,q,r),n,q) .
  --
  eq (q = intruder) = false .
  eq m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p)) \in nw10 = false .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm21(s,p10,q10,m20), ~(p = intruder),
--> m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)),
--> ~(q = intruder), m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p)) \in nw10,
--> m2(q,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) \in nw10
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = true .
  eq network(s) = m20 nw10 .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  -- eq m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) .
  eq q? = intruder .
  eq p10 = q .
  eq q10 = p .
  eq cipher2(m20) = enc2(p,n(p,q,r),n,q) .
  --
  eq (q = intruder) = false .
  eq m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p)) \in nw10 = true .
  eq m2(q,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) \in nw10 = true .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm21(s,p10,q10,m20), ~(p = intruder),
--> m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)),
--> ~(q = intruder), m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p)) \in nw10,
--> ~(m2(q,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) \in nw10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = true .
  eq network(s) = m20 nw10 .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  -- eq m2(intruder,p10,q10,cipher2(m20)) = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) .
  eq q? = intruder .
  eq p10 = q .
  eq q10 = p .
  eq cipher2(m20) = enc2(p,n(p,q,r),n,q) .
  --
  eq (q = intruder) = false .
  eq m1(p,p,q,enc1(q,n(p,q,r),p)) \in nw10 = true .
  eq m2(q,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) \in nw10 = false .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red inv4(s,p,q,n,r,m20) implies istep1 .
close
--> ~c-fkm21(s,p10,q10,m20)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m20 : -> Message2 .
-- assumptions
  eq c-fkm21(s,p10,q10,m20) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm21(s,p10,q10,m20) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 7) fkm22(s,p10,q10,n10,n20)
--> c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20), p = intruder
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20) = true .
  eq nonces(s) = n10 n20 ns10 .
  eq (n10 = n20) = false .
  --
  eq p = intruder .
-- successor state
  eq s' = fkm22(s,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20), ~(p = intruder), q = intruder
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20) = true .
  eq nonces(s) = n10 n20 ns10 .
  eq (n10 = n20) = false .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  eq q = intruder .
-- successor state
  eq s' = fkm22(s,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20), ~(p = intruder), ~(q = intruder),
--> ~(m2(intruder,p10,q10,enc2(q10,n10,n20,p10))
--> = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)))
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20) = true .
  eq nonces(s) = n10 n20 ns10 .
  eq (n10 = n20) = false .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  eq (q = intruder) = false .
  eq (m2(intruder,p10,q10,enc2(q10,n10,n20,p10))
      = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q))) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm22(s,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20), ~(p = intruder), ~(q = intruder),
--> m2(intruder,p10,q10,enc2(q10,n10,n20,p10))
--> = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q))
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20) = true .
  eq nonces(s) = n10 n20 ns10 .
  eq (n10 = n20) = false .
  --
  eq (p = intruder) = false .
  eq (q = intruder) = false .
  -- eq m2(intruder,p10,q10,enc2(q10,n10,n20,p10))
  --    = m2(q?,q,p,enc2(p,n(p,q,r),n,q)) .
  eq q? = intruder .
  eq p10 = q .
  eq q10 = p .
  eq n20 = n .
  eq n10 = n(p,q,r) .
  --
-- successor state
  eq s' = fkm22(s,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red inv5(s,n10) implies istep1 .
close
--> ~c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  ops n10 n20 : -> Nonce .
-- assumptions
  eq c-fkm22(s,p10,q10,n10,n20) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm22(s,p10,q10,n10,n20) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 8) fkm31(s,p10,q10,m30)
--> c-fkm31(s,p10,q10,m30)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m30 : -> Message3 .
  op nw10 : -> Network .
-- assumptions
  -- eq c-fkm31(s,p10,q10,m30) = true .
  eq network(s) = m30 nw10 .
  --
-- successor state
  eq s' = fkm31(s,p10,q10,m30) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> ~c-fkm31(s,p10,q10,m30)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op m30 : -> Message3 .
-- assumptions
  eq c-fkm31(s,p10,q10,m30) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm31(s,p10,q10,m30) .
-- check 
  red istep1 .
close

--> 9) fkm32(s,p10,q10,n10)
--> c-fkm32(s,p10,q10,n10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op n10 : -> Nonce .
  op ns10 : -> NonceSoup .
-- assumptions
  -- eq c-fkm32(s,p10,q10,n10) = true .
  eq nonces(s) = n10 ns10 .
  --
-- successor state
  eq s' = fkm32(s,p10,q10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close
--> ~c-fkm32(s,p10,q10,n10)
open ISTEP-NSLPK
-- fresh constants
  ops p10 q10 : -> Principal .
  op n10 : -> Nonce .
-- assumptions
  eq c-fkm32(s,p10,q10,n10) = false .
-- successor state
  eq s' = fkm32(s,p10,q10,n10) .
-- check 
  red istep1 .
close

-- Q.E.D.