YES

---- CR(R)
---- R : left-linear, C : CR and CP-closing, and Cdup/R : SN
R:
f(a(),a(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
a() -> b()
a() -> c()
b() -> a()
b() -> c()

CP(R):
f(b(),a(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),b(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
b() -> c()
f(c(),a(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),c(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
c() -> b()
f(a(),a(),a(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),a(),b(),a()) -> f(c(),c(),c(),c())
a() -> c()
f(a(),a(),c(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),a(),b(),c()) -> f(c(),c(),c(),c())
c() -> a()

critical-pair-closing system C:
f(a(),a(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
a() -> c()
b() -> a()

CR(C): see below.

---- CR(R)
---- R : left-linear, C : CR and CP-closing, and Cdup/R : SN
R:
f(a(),a(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
a() -> c()
b() -> a()

CP(R):
f(c(),a(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),c(),b(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),a(),a(),b()) -> f(c(),c(),c(),c())
f(a(),a(),b(),a()) -> f(c(),c(),c(),c())

critical-pair-closing system C:
a() -> c()
b() -> a()

CR(C): see below.

---- CR(R)
---- R : left-linear, C : CR and CP-closing, and Cdup/R : SN
R:
a() -> c()
b() -> a()

CP(R):


critical-pair-closing system C:


CR(C): see below.

---- CR(R)
---- R is empty.