YES

---- CR(R)
---- R : left-linear, C : CR and CP-closing, and Cdup/R : SN
R:
f(g(x),g(y)) -> f(g(x),h(y))
f(h(x),g(y)) -> f(g(x),g(y))
f(g(x),h(y)) -> f(x,y)
f(h(x),h(y)) -> f(y,x)
f(x,y) -> f(y,x)
g(x) -> h(x)
h(x) -> g(x)

CP(R):
f(g(___y17),h(___y18)) -> f(g(___y18),g(___y17))
f(g(___y43),g(___y44)) -> f(g(___y44),h(___y43))
f(___y69,___y70) -> f(h(___y70),g(___y69))
f(___y96,___y95) -> f(h(___y96),h(___y95))
f(g(___y108),g(___y107)) -> f(g(___y107),h(___y108))
f(g(___y112),h(___y111)) -> f(g(___y111),g(___y112))
f(h(___y116),g(___y115)) -> f(___y115,___y116)
f(h(___y120),h(___y119)) -> f(___y120,___y119)
f(h(___y131),g(___y133)) -> f(g(___y131),h(___y133))
f(g(___y132),h(___y131)) -> f(g(___y132),h(___y131))
f(h(___y135),h(___y134)) -> f(g(___y135),g(___y134))
f(h(___y137),h(___y139)) -> f(___y137,___y139)
f(g(___y153),g(___y155)) -> f(g(___y153),g(___y155))
f(g(___y157),g(___y156)) -> f(___y157,___y156)
f(g(___y159),h(___y161)) -> f(___y161,___y159)
f(h(___y160),g(___y159)) -> f(___y159,___y160)

critical-pair-closing system C:
f(g(x),g(y)) -> f(g(x),h(y))
f(h(x),h(y)) -> f(y,x)
f(x,y) -> f(y,x)
g(x) -> h(x)

CR(C): see below.

---- CR(R)
---- R : linear and strongly closed [Huet, 1980]
R:
f(g(x),g(y)) -> f(g(x),h(y))
f(h(x),h(y)) -> f(y,x)
f(x,y) -> f(y,x)
g(x) -> h(x)
CP(R):
f(g(___y2549),h(___y2550)) -> f(g(___y2550),g(___y2549))
f(___y2565,___y2564) -> f(h(___y2565),h(___y2564))
f(g(___y2574),g(___y2573)) -> f(g(___y2573),h(___y2574))
f(h(___y2578),h(___y2577)) -> f(___y2578,___y2577)
f(h(___y2586),g(___y2588)) -> f(g(___y2586),h(___y2588))
f(g(___y2587),h(___y2586)) -> f(g(___y2587),h(___y2586))