YES

Problem:
 g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
 f(x) -> g(x,f(x))
 h(x) -> g(f(x),x)
 g(x,y) -> h(g(f(x),f(y)))

Proof:
 Church Rosser Transformation Processor:
  strict:
   
  weak:
   
  critical peaks: 5
   g(g(f(h(x44)),f(f(h(x44)))),y) <-0|[]- g(f(f(h(x44))),y) -3|[]-> h(g(f(f(f(h(x44)))),f(y)))
   g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) <-1|0[]- g(f(f(h(x))),y) -0|[]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
   g(f(g(h(x),f(h(x)))),y) <-1|0,0[]- g(f(f(h(x))),y) -0|[]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
   g(f(f(g(f(x),x))),y) <-2|0,0,0[]- g(f(f(h(x))),y) -0|[]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
   h(g(f(f(f(h(x)))),f(y))) <-3|[]- g(f(f(h(x))),y) -0|[]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
  Shift Processor lab=left (dd) (force):
   strict:
    g(f(f(h(x44))),y) -> g(g(f(h(x44)),f(f(h(x44)))),y)
    g(f(f(h(x44))),y) -> h(g(f(f(f(h(x44)))),f(y)))
    g(g(f(h(x44)),f(f(h(x44)))),y) -> h(g(f(g(f(h(x44)),f(f(h(x44))))),f(y)))
    h(g(f(f(f(h(x44)))),f(y))) -> h(g(f(g(f(h(x44)),f(f(h(x44))))),f(y)))
    g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
    g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
    g(f(f(h(x))),y) -> g(f(g(h(x),f(h(x)))),y)
    g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
    g(f(g(h(x),f(h(x)))),y) -> g(g(g(h(x),f(h(x))),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
    g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -> g(g(f(h(x)),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
    g(g(f(h(x)),f(g(h(x),f(h(x))))),y) -> g(g(g(h(x),f(h(x))),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
    g(f(g(h(x),f(h(x)))),y) -> g(g(g(h(x),f(h(x))),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
    g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -> g(g(g(h(x),f(h(x))),f(f(h(x)))),y)
    g(g(g(h(x),f(h(x))),f(f(h(x)))),y) -> g(g(g(h(x),f(h(x))),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
    g(f(f(h(x))),y) -> g(f(f(g(f(x),x))),y)
    g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
    g(f(f(g(f(x),x))),y) -> g(g(f(g(f(x),x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
    g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
    g(g(f(h(x)),f(f(g(f(x),x)))),y) -> g(g(f(g(f(x),x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
    g(f(f(g(f(x),x))),y) -> g(g(f(g(f(x),x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
    g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -> g(g(f(g(f(x),x)),f(f(h(x)))),y)
    g(g(f(g(f(x),x)),f(f(h(x)))),y) -> g(g(f(g(f(x),x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
    g(f(f(h(x))),y) -> h(g(f(f(f(h(x)))),f(y)))
    g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
    h(g(f(f(f(h(x)))),f(y))) -> h(g(f(g(f(h(x)),f(f(h(x))))),f(y)))
    g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -> h(g(f(g(f(h(x)),f(f(h(x))))),f(y)))
   weak:
    g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
    f(x) -> g(x,f(x))
    h(x) -> g(f(x),x)
    g(x,y) -> h(g(f(x),f(y)))
   Shift Processor (ldh) lab=left (force):
    strict:
     
    weak:
     
    Rule Labeling Processor:
     strict:
      
     weak:
      
     rule labeling (right):
      g(f(f(h(x))),y) -> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y): 3
      f(x) -> g(x,f(x)): 0
      h(x) -> g(f(x),x): 0
      g(x,y) -> h(g(f(x),f(y))): 0
     Shift Processor lab=left (par):
      strict:
       
      weak:
       
      Decreasing Processor (par):
       The following diagrams are decreasing:
       peak:
        h(g(f(f(f(h(x)))),f(y))) <-3|[==1,=>0]- g(f(f(h(x))),y) -0|[==1,?=3]-> 
                                                g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
       joins (1):
        h(g(f(f(f(h(x)))),f(y))) -1|0,0,0[==1,=>0]-> h(g(f(g(f(h(x)),f(f(h(x))))),f(y)))
        g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -3|[==1,=>0]-> h(g(f(g(f(h(x)),f(f(h(x))))),f(y)))
       peak:
        g(f(f(g(f(x),x))),y) <-2|0,0,0[==1,=>0]- g(f(f(h(x))),y) -0|[
                                                 ==1,?=3]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
       joins (1):
        g(f(f(g(f(x),x))),y) -1|0[==1,=>0]-> g(g(f(g(f(x),x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
        g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -2|0,1,0,0[==1,=>0]-> g(g(f(h(x)),f(f(g(f(x),x)))),y) -2|
                                                         0,0,0[==1,=>0]-> 
                                                         g(g(f(g(f(x),x)),f(f(g(f(x),x)))),y)
       peak:
        g(f(g(h(x),f(h(x)))),y) <-1|0,0[==1,=>0]- g(f(f(h(x))),y) -0|
                                                  [==1,?=3]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
       joins (1):
        g(f(g(h(x),f(h(x)))),y) -1|0[==1,=>0]-> g(g(g(h(x),f(h(x))),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
        g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) -1|0,1,0[==1,=>0]-> g(g(f(h(x)),f(g(h(x),f(h(x))))),y) -1|
                                                       0,0[==1,=>0]-> 
                                                       g(g(g(h(x),f(h(x))),f(g(h(x),f(h(x))))),y)
       peak:
        g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y) <-1|0[==1,=>0]- g(f(f(h(x))),y) -0|
                                                   [==1,?=3]-> g(g(f(h(x)),f(f(h(x)))),y)
       joins (1):
        
        
       peak:
        g(g(f(h(x44)),f(f(h(x44)))),y) <-0|[==1,=?3]- g(f(f(h(x44))),y) -3|
                                                      [==1,>=0]-> h(g(f(f(f(h(x44)))),f(y)))
       joins (1):
        g(g(f(h(x44)),f(f(h(x44)))),y) -3|[==1,>=0]-> h(g(f(g(f(h(x44)),f(f(h(x44))))),f(y)))
        h(g(f(f(f(h(x44)))),f(y))) -1|0,0,0[==1,>=0]-> h(g(f(g(f(h(x44)),f(f(h(x44))))),f(y)))
       Qed